前言：

曾经有人问过学长，是不是概率期望基本上都是用来做dp的

学长：当然不是了

然而我觉得，有很大一部分的概率期望都是与dp有关的

公式介绍

这一部分的知识并不是很难

掌握两大法宝即可

全概率公式

把样本空间S分成若干个不想交的部分B1，B2，B3，…，Bn，

则P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+…+P(A|Bn)*P(Bn)

这里的P(A|B)是指B事件发生的条件下，事件A发生的概率

其实ta的思想很简单：

比如，参加NOI，得到金牌，银牌，铜牌，当炮灰的概率分别是0.1,0.2,0.3,0.4，

在这种情况下，保送上清华的概率分别是1.0,0.8,0.5,0.1，

则被报送的总概率是0.1*1.0+0.2*0.8+0.3*0.5+0.4*0.1

使用全概率公式的关键就是划分时间空间

只有把所有情况不重复，不遗漏的进行分类，

并计算出每个事件的概率，才能得出正确的答案

数学期望

简单地说，随机变量X的数学期望EX就是所有可能值按概率加权的和

比如一个随机变量有1/2的概率等于1,1/3的概率等于2,1/6的概率等于3

那么这个随机变量的数学期望为

1/2*1+1/3*2+1/6*3

在非正式场合中，可以说这个随机变量“在平均情况下的值”为1/2*1+1/3*2+1/6*3

在解决和数学期望相关的题目时，大多数是可以直接考虑定义法解决

求出各个取值和对应的概率

当然，如果是等概率事件（所有事件的概率完全相等）

我们可以用：

各个情况之和/总情况数量（相当于求一个平均值，不是一般的好用啊）

如果遇到困难，我们可以考虑一下两个法宝：

• 期望的线性性质：
  有限个随机变量之和的数学期望等于每个的数学期望之和
  即 E(X+Y)=EX+EY
• 全期望公式：
  类似全概率公式，把所有情况不重复，不遗漏的分成若干类，每个计算数学期望，
  最后把这些数学期望按照每类的概率加权求和